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Auf einer Funktion y = f(x) liegen die zwei benachbarten Punkte
P(a/f(a)) und Q(x/f(x)). Die Gerade g durch P und Q nennt man
Sekante an die Kurve. Das Dreieck PQR mit dem Punkt R(x/f(a))
heißt Steigungsdreieck und der Winkel bei P heißt Steigungs-
winkel w. Für die Steigung k gilt: k = tan(w) = (f(x)-f(a))/(x-a).
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Nähert sich der Punkt Q kontinuierlich dem Punkt P, dann
wird die Sekante g zur einer Tangente t der Kurve, wenn der
Punkt Q den Punkt P erreicht hat, und k = tan(w) heißt dann
Tangentensteigung oder Differenzialquotient im Punkt P(a/f(a).
Man schreibt f'(a) = lim(f(x)-f(a))/(x-a) für x => a. Eine etwas
andere Schreibweise ist f'(a) = lim(f(a+h)-f(a))/h für h => 0,
wobei h = (x-a) ist. Zu f'(a) sagt man "f Strich an der Stelle a".
f'(a) wird auch als erste Ableitung von f(x) bezeichnet. Auf die
gleiche Art und Weise kann auch eine zweite Ableitung f''(a)
als Ableitung der Ableitung gebildet werden, usw. . . . . . . . . . .
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Die allgemeine Geradengleichung für t ist y = k*x + d. Weil nun
P(a/f(a) auf t liegt, gilt f(a) = f'(a)*a + d. Es folgt d = f(a) - f'(a)*a
und für die Tangentengleichung gilt dann: y = f'(a)*(x - a) + f(a).
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Für den Graphen einer Funktion gelten folgende Beschreibungen,
die in einer Kurvendiskussion erfasst werden (hier ohne Beweise):
(1) Eine Funktion f(x) ist an der Stelle a monoton fallend, wenn
dort die erste Ableitung f'(a) <= 0 ist.
(2) . . . monoton steigend, wenn dort die erste Ableitung f'(a) >= 0 ist.
(3) Eine Funktion f(x) ist an der Stelle a nach oben hohl, wenn
dort die zweite Ableitung f''(a) >= 0 ist.
(4) . . . nach unten hohl, wenn dort die zweite Ableitung f''(a) <= 0 ist.
(5) Eine Funktion f(x) hat bei a einen Scheitelpunkt (Extremwert), wenn
dort die Tangente parallel zur x-Achse verläuft, d.h. wenn f'(a) = 0 ist.
Tiefpunkt mit f'(a) = 0 und f''(a)>0. Hochpunkt mit f'(a) = 0 und f''(a)<0.
(6) Eine Funktion f(x) hat bei a einen Wendepunkt, wenn sich dort die
Krümmung ändert, d.h. wenn dort f''(a) = 0 und f'''(a) <> 0 sind.
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