geomath.html

// Auswahl von 85 verschiedenen Demo-Scripts.
// Die Maus auf [begin] platzieren und dann [Run]
// oder fortlaufend [Parse] oder [F2] anklicken.

// Scripts mit Zufallsgenerator-Eingaben UND
// mit manuellen Eingaben (welche dann den
// Zufall überschreiben) sind mit (&) markiert.
// Scripts mit wahlweisen Ergebnis-Ausgaben
// sind mit (*) markiert. Sie sind ideal zum Üben.

// [01] (&|*) Rechteck
// Gegeben ist ein Rechteck mit den zwei Seiten.
// Gesucht sind Umfang und Fläche und Diagonale.
// Zusätzlich wird das Rechteck auch gezeichnet.
// Die zwei Seiten a und b werden eingegeben.
begin
clr()
txt(RECHTECK;-9;8)
inf(Weiter mit Eingabe der Seiten a und b;)
a = round(random(6) + 3)
b = round(random(6) + 3)
apo(_ab;)
A(0/0)
B(a/0)
C(a/b)
D(0/b)
lf3()
li4(A;B;C;D)
lf2()
lin(A;C)
lib(.a;A;B)
lib(.b;B;C)
lib(.d;A;C)
u = 2*a+2*b
f = a*b
d = rd2(sqrt(a^2+b^2))
txt(Gegeben a: _a | b: _b;-9;7)
out(Gegeben a: _a | b: _b;)
inf(Gesucht sind:#Umfang u#Fläche f#Diagonale d;)
txt(Umfang u:  _u;-9;-6)
txt(Fläche f:  _f;-9;-7)
txt(Diagonale d:  _d;-9;-8)
end

// [02] (&|*) Grundstücke
// Ein Grundstück in der Ebene hat
// die Form eines L. Die Reihen-
// folge der Eckpunkte ausgehend
// vom linken unteren Punkt im Uhr-
// zeigersinn lautet: A B C D E F A.
// Die vier Seiten FA (a) und AB (b)
// und CD (c) und DE (d) sind bekannt.
// Gesucht sind Umfang und Fläche.
begin
clr()
txt(Grundstück ABCDEFA;-9;8)
txt(mit den 4 Seiten a|b|c|d;-9;7)
a = round(random(20)) + 20
b = round(random(20)) + 20
c = round(random(12)) + 5
d = round(random(12)) + 5
apo(_abcd;)
gru(a;b;c;d)
txt(Grundstück ABCDEFA;-9;8)
txt(mit den 4 Seiten a|b|c|d;-9;7)
v = a - d
w = b - c
u = b + v + c + d + w + a
f = v*b + d*w
A(0/0)
B(0/b)
C(v/b)
D(v/w)
E(a/w)
F(a/0)
X(v/0)
li4(A;X;C;B)
li4(X;F;E;D)
ld2()
lf2()
lin(A;B)
lib(.b;A;B)
lin(B;C)
lib(.v;B;C)
lin(C;D)
lib(.c;C;D)
lin(D;E)
lib(.d;D;E)
lin(E;F)
lib(.w;E;F)
lin(F;A)
lib(.a;F;A)
txt(a: _a | b: _b | c: _c | d: _d;-9;6)
txt(Hilfsstrecken BC -> v: _v  und  EF -> w: _w;-9;-4)
txt(b: _b | v: _v | c: _c | d: _d | w: _w | a: _a;-9;-5)
out(a: _a | b: _b | c: _c | d: _d;)
inf(Gesucht sind:#Umfang u#Fläche f;)
txt(Umfang u: _u;-9;-6)
txt(Fläche f: _f;-9;-7)
txt(Grundstück ABCDEFA;-9;-8)
end

// [03] (*) Rechteck und Umkreis
// Der Prozentsatz p der Rechteckfläche f
// von der Kreisfläche k wird ermittelt.
begin
clr()
txt(RECHTECK und UMKREIS;-9;8)
a = 8
b = 5
apo(_ab;)
A(0/0)
B(a/0)
C(a/b)
D(0/b)
li4(A;B;C;D)
ld2()
lf2()
lin(A;C)
x = a/2 
y = b/2 
d = rd2(sqrt(a^2+b^2)) 
r = rd2(d/2) 
M(x/y)
lib(.a;A;B)
lib(.b;B;C)
lib(.r;A;M)
krs(M;r)
f = a*b 
k = rd2(r^2*PI) 
p = rd2(100/k * f) 
txt(Gegeben a: _a | b: _b;-9;7)
out(Gegeben a: _a | b: _b;)
inf(Gesucht sind:#Kreisfläche k#Rechteckfläche f#Prozente p(f von k);)
txt(Kreis-Radius r: _r;-9;-5)
txt(Kreis-Fläche k: _k;-9;-6)
txt(Rechteck-Fläche f: _f;-9;-7)
txt(Prozentsatz 'f' von 'k': _p%;-9;-8)
end

// [04] (*) Kreis und Kreissektor
// Gegeben ist ein Kreis mit dem
// Mittelpunkt M(0/0) und Radius r.
// Zusätzlich hat ein Sektor des
// Kreises den Öffnungswinkel w.
// w ist immer kleiner/gleich 360°.
// Bogenlänge und Fläche des Sektors
// werden automatisch berechnet.
begin 
clr(20;)
txt(KREIS | SEKTOR | SEGMENT | BOGEN;-9;9)
r = 10
w = 60
apo(_rw;)
M(0/0)
krs(M;r)
k = f
l = u
arc(M;r;0;w)
s = f
d = rd2(r*r*sin(rad(w))/2)
a = rd2(s-d)
txt(Kreisradius: _r;-9;8)
txt(Sektorwinkel: _w°;-9;7)
out(Gegeben: r: _r | w: _w°;)
inf(Gesucht:#Kreis#Sektor#Segment;)
txt(Kreisumfang: _l;-9;6)
txt(Kreisfläche: _k;-9;5)
txt(Sektorfläche: _s;-9;4)
txt(Segmentfläche: _a;-9;3)
txt(Bogenlänge: _u;-9;2)
end

// [05] (*) Kreise im Quadrat
// In einem Quadrat mit der Seitenlänge a
// schließen zwei Viertelkreise eine
// rot gefärbte Fläche ein. Davon sollen
// Umfang U und Fläche F ermittelt werden.
begin
clr()
txt(KREISE im QUADRAT;-9;8)
a = 10
apo(_a;)
kfl(a;)
txt(KREISE im QUADRAT;-9;8)
r = a
f = rd2(2*(r^2*PI/4 - a^2/2))
u = rd2(r*PI)
txt(Quadratseite a: _a;-9;-7)
out(Quadratseite a: _a;)
txt(Für die rot gefärbte Fläche gilt:;-9;-8)
inf(Gesucht sind:#Umfang u#Fläche f;)
txt(Umfang u -> _u  und  Fläche f -> _f;-9;-9)
end

// [06] (*) Parallelogramm
// Gegeben ist ein Parallelogramm mit den zwei
// Seiten a und b und der Höhe h. Gesucht sind
// die Diagonale e und die Fläche F.
begin
clr()
txt(PARALLELOGRAMM;-9;8)
a = 5
b = 5
h = 4
apo(_abh;)
x = rd2(sqrt(b*b - h*h)) 
d = x 
s = a + x 
e = rd2(sqrt(s*s + h*h)) 
f = a * h 
txt(Gegeben a: _a | b: _b | h: _h;-9;7)
A(0/0)
B(a/0)
skk(A;e;B;b)
ren(S;C)
D(d/h)
ld2()
lf3()
li4(A;B;C;D)
lf2()
lin(A;C)
lib(.e;A;C)
ld1()
lf1()
H(s/0)
lin(H;C)
lib(.a;A;B)
lib(.b;B;C)
lib(.h;H;C)
out(Gegeben a: _a | b: _b | h: _h;)
inf(Gesucht sind:#Fläche f#Diagonale e;)
txt(Fläche: _f;-9;-8)
txt(Diagonale e: _e;-9;-7)
end

// [07] (*) Trapez
// Gegeben ist ein gleichschenkeliges Trapez
// mit den zwei Seiten a und c und der Höhe h.
// Gesucht sind die Seite b und die Diagonale e
// und die Fläche F.
begin
clr()
txt(Gleichschenkeliges TRAPEZ;-9;8)
a = 8
c = 5
h = 4
apo(_ach;)
x = (a-c)/2 
d = x 
b = rd2(sqrt(h*h + x*x)) 
s = a - x 
e = rd2(sqrt(s*s + h*h)) 
f = (a+c)*h/2 
txt(Gegeben a: _a | c: _c | h: _h;-9;7)
A(0/0)
B(a/0)
skk(A;e;B;b)
ren(S;C)
D(d/h)
ld2()
lf3()
li4(A;B;C;D)
lf2()
lin(A;C)
lib(.e;A;C)
H(s/0)
ld1()
lf1()
lin(H;C)
lib(.a;A;B)
lib(.c;D;C)
lib(.h;H;C)
out(Gegeben a: _a | c: _c | h: _h;)
inf(Gesucht sind:#Seite b#Diagonale e#Fläche f;)
txt(Seite b: _b;-9;-6)
txt(Diagonale e: _e;-9;-7)
txt(Fläche: _f;-9;-8)
end

// [08] (*) Deltoid
// Gegeben ist ein Deltoid mit den zwei Seiten
// a und b und der waagrechten Diagonale d.
// Gesucht sind die senkrechte Diagonale e
// und die Fläche F.
begin
clr()
txt(DELTOID;-9;8)
a = 6
b = 9
d = 10
apo(_abd;)
u = d/2 
v = rd2(sqrt(a*a - u*u)) 
w = rd2(sqrt(b*b - u*u)) 
e = v + w 
f = rd2(e * u) 
txt(Gegeben a: _a | b: _b | d: _d;-9;7)
O(0/0)
A(-u/0)
B(u/0)
C(0/v)
D(0/-w)
li4(A;C;B;D)
lib(.a;B;C)
lib(.b;B;D)
lib(.d;O;A)
lib(.e;O;D)
lf2()
id1()
lin(A;B)
lin(C;D)
out(Gegeben a: _a | b: _b | d: _d;)
inf(Gesucht sind:#Diagonale e#Fläche f;)
txt(Diagonale e: _e;-9;-7)
txt(Fläche: _f;-9;-8)
end

// [09] (*) Dreieck (SSS)
// Gegeben ist ein Dreieck mit den drei Seiten.
// Gesucht sind Umfang und Fläche und Winkel.
// Dabei muss jede Seite kleiner sein
// als die Summe der beiden anderen Seiten.
begin
clr()
txt(DREIECK (SSS);-9;8)
a = 4.5
b = 6.0
c = 7.5
apo(_abc;)
u = (a+b+c) 
s = u/2 
f = rd2(sqrt(s*(s-a)*(s-b)*(s-c))) 
i = rd2(deg(acos((b^2+c^2-a^2)/(2*b*c)))) 
j = rd2(deg(acos((a^2+c^2-b^2)/(2*a*c)))) 
k = rd2(180 - i - j) 
txt(Gegeben a: _a | b: _b | c: _c;-9;7)
A(0/0) 
B(c/0)
skk(A;b;B;a)
ren(S;C)
ld2()
lf3()
li3(A;B;C;A)
lib(.c;A;B)
lib(.a;B;C)
lib(.b;C;A) 
out(Gegeben a: _a | b: _b | c: _c;)
inf(Gesucht sind:#Umfang u#Fläche f#Winkel bei A und B und C;)
txt(Umfang:  _u;-9;-7)
txt(Fläche:  _f;-9;-8)
txt(Winkel:  w(A): _i° | w(B): _j° | w(C): _k°;-9;-9)
end

// [10] (*) Dreieck (SSW)
// Gegeben sind zwei Seiten c und a
// und der Winkel w(A). Gesucht sind
// die Fläche und die fehlende Seite b
// und die zwei Winkel w(B) und w(C).
// Dabei muss der gegebene Winkel immer
// der größeren Seite gegenüber liegen.
begin
clr()
txt(DREIECK (SSW);-9;8)
inf(Eingabe der Seite c eines Dreiecks.;)
c = 5
apo(_c;) 
s = c/2 
A(-s/0)
B(s/0)
lin(A;B)
inf(Eingabe von Winkel w(A).;)
p = 90
apo(_p;) 
arc(A;2;0;p)
k = tan(rad(p)) 
gkp(k;A)
inf(Eingabe von Seite a.;)
a = 6
apo(_a;) 
krs(B;a)
txt(Gegeben c: _c | a: _a | w(A): _p°;-9;7)
inf(Weiter zum Schnitt von Kreis k(B|a) und Gerade b.;)
sgk(A;Y;B;a)
ren(Y;'')
ren(T;"")
ren(S;C)
ld2()
li3(A;B;C)
lng(A;C)
b = rd2(z)
win(A;C;B)
q = rd2(w)
w = rd2(180 - p - q) 
fla(A;B;C)
s = rd2(f)
out(Gegeben c: _c | a: _a | w(A): _p°;)
inf(Gesucht sind:#Seiten#Winkel#Fläche;)
txt(Seite b: _b ;-9;-5)
txt(Winkel w(B): _w;-9;-6)
txt(Winkel w(C): _q°;-9;-7)
txt(Fläche: _s ;-9;-8)
end

// [11] (*) Dreieck (SWS)
// Gegeben sind zwei Seiten c und a
// und der Winkel w(B). Gesucht sind
// die Fläche und die Seite b und auch 
// die fehlenden Winkel w(A) und w(C).
// Dabei wird der gegebene Winkel von
// den gegebenen Seiten eingeschlossen.
begin
clr()
txt(DREIECK (SWS);-9;8)
inf(Eingabe der Seite c des Dreiecks.;)
c = 5
apo(_c;) 
s = c/2
A(-s/0)
B(s/0)
lin(A;B)
inf(Eingabe von Winkel w(B).;)
apo(_w;) 
w = 60
v = w
p = 180 - w
arc(B;2;0;p)
k = tan(rad(p)) 
gkp(k;B)
inf(Eingabe der Seite a des Dreiecks.;)
a = 6
apo(_a;) 
krs(B;a)
txt(Gegeben c: _c | a: _a | w(B): _v°;-9;7)
inf(Weiter zum Schnitt von Kreis k(B|a) und Gerade a.;)
sgk(B;Y;B;a)
ren(S;C)
ren(Y;'')
ren(T;"")
ld2()
li3(A;B;C)
lng(A;C)
b = rd2(z)
win(B;A;C)
q = rd2(w)
w = rd2(180 - v - q)
fla(A;B;C)
e = rd2(f)
out(Gegeben c: _c | a: _a | w(B): _v°;)
inf(Gesucht sind:#Seiten#Winkel#Fläche;)
txt(Seite b: _b ;-9;-5)
txt(Winkel w(A): _q°;-9;-6)
txt(Winkel w(C): _w°;-9;-7)
txt(Fläche: _e ;-9;-8)
end

// [12] (*) Dreieck (WSW)
// Gegeben sind zwei Winkel w(A) und w(B)
// und die Seite c. Gesucht sind die
// Fläche und die fehlenden Seite a und b
// und auch der fehlende Winkel w(C).
// Die gegebene Seite liegt zwischen
// den beiden gegebenen Winkeln und
// deren Summe ist kleiner als 180°.
begin
clr()
txt(DREIECK (WSW);-9;8)
inf(Eingabe der Seite c des Dreiecks.;)
c = 6
apo(_c;) 
s = c/2
A(-s/0)
B(s/0)
lin(A;B)
inf(Eingabe von Winkel w(A).;)
p = 120
apo(_p;) 
arc(A;2;0;p)
i = tan(rad(p)) 
z = 180 - p
inf(Eingabe von Winkel w(B) < _z°.;)
q = 30
apo(_q;) 
txt(Gegeben c: _c | w(A): _p° | w(B): _q°;-9;7)
w = 180-q 
arc(B;2;0;w)
j = tan(rad(w)) 
gkp(i;A)
e = d 
ren(Y;'')
gkp(j;B)
f = d 
ren(Y;'')
syy(i;e;j;f)
ren(S;C)
ld2()
li3(A;B;C)
w = 180 - p - q 
lng(A;C) 
b = rd2(z )
lng(B;C) 
a = rd2(z )
fla(A;B;C)
e = rd2(f)
out(Gegeben c: _c | w(A): _p° | w(B): _q°;)
inf(Gesucht sind:#Seiten#Winkel#Fläche;)
txt(Seite a: _a ;-9;-5)
txt(Seite b: _b;-9;-6)
txt(Winkel w(C): _w°;-9;-7)
txt(Fläche: _e ;-9;-8)
end

// [13] Inkreis
// Der Mittelpunkt I des Inkreises ist
// der Schnittpunkt der Winkelsymmetralen.
// Die Dreiecks-Eckpunkte sind hier
// vorgegeben. Sie können jedoch im
// Programmier-Modus geändert werden. 
begin
clr()
txt(INKREIS des DREIECKS;-9;9)
txt(Schnittpunkt der der 3 Winkelsymmetralen;-9;8)
A(-5/-2)
B(7/0)
C(2/7)
li3(A;B;C)
wsm(B;A;C)
wsm(A;B;C)
wsm(B;C;A)
umf(A;B;C)
fla(A;B;C)
kri(A;B;C)
end

// [14] Umkreis
// Der Mittelpunkt U des Umkreises ist
// der Schnittpunkt der Seitensymmetralen.
// Die Dreiecks-Eckpunkte sind hier
// vorgegeben. Sie können jedoch im
// Programmier-Modus geändert werden. 
begin
clr()
txt(UMKREIS des DREIECKS;-9;9)
txt(Schnittpunkt der der 3 Seitensymmetralen;-9;8)
A(-5/-2)
B(7/0)
C(2/7)
li3(A;B;C)
ssm(A;B)
ren(H;D)
ssm(B;C)
ren(H;E)
ssm(C;A)
ren(H;F)
kru(A;B;C)
end

// [15] Schwerpunkt
// Der Schwerpunkt des Dreiecks ist
// der Schnittpunkt der Schwerlinien.
// Die Dreiecks-Eckpunkte sind hier
// vorgegeben. Sie können jedoch im
// Programmier-Modus geändert werden. 
begin
clr()
txt(SCHWERPUNKT des DREIECKS;-9;9)
txt(Schnittpunkt der der 3 Schwerlinien;-9;8)
A(-5/-2)
B(7/0)
C(2/7)
li3(A;B;C)
hap(A;B)
ren(H;D)
lin(D;C)
hap(B;C)
ren(H;E)
lin(E;A)
hap(A;C)
ren(H;F)
lin(F;B)
swp(A;B;C)
end

// [16] Lotrechte Gerade
// Lot vom Punkt A auf die Strecke BC
// Die drei Punkte A und B und C sind
// hier vorgegeben. Sie können jedoch
// im Programmier-Modus geändert werden. 
begin
clr()
txt(LOTRECHTE GERADE;-9;8)
A(0/3)
B(5/2)
C(2/7)
lin(B;C)
lng(B;C)
fun(stp)
lot(A;B;C)
end

// [17] Höhenschnittpunkt
// Eine Höhe ist das Lot von einem
// Eckpunkt auf die Gegenseite.
// Die Dreiecks-Eckpunkte sind hier
// vorgegeben. Sie können jedoch im
// Programmier-Modus geändert werden. 
begin
clr()
txt(HÖHENSCHNITTPUNKT des DREIECKS;-9;9)
txt(Schnittpunkt der der 3 Höhen;-9;8)
A(-5/-2)
B(7/0)
C(2/7)
li3(A;B;C)
lot(C;A;B)
ren(F;D)
lot(A;B;C)
ren(F;E)
lot(B;A;C)
sgg(C;D;A;E)
ren(S;H)
end

// [18] Lineare Funktion
// Eine Gerade ist gegeben durch
// Steigung k und y-Abschnitt d. 
// Die Gerade wird gezeichnet und
// ihr Richtungswinkel w berechnet. 
begin
clr()
txt(GERADE y -> k*x + d;-9;9)
k = 1
d = -2
txt(Gerade mit Steigung k: _k;-9;8)
txt(und y-Abschnitt d: _d;-9;7)
txt(Schnittpunkt mit der y-Achse: D(0/_d);-9;6)
D(0/d)
x = rd2(-d/k)
E(x/0)
w = rd2(deg(atan(k)))
txt(und Richtungswinkel w: _w°;-9;5)
lf3()
ld3()
arc(E;2;0;w)
lf3()
ld2()
gkd(k;d)
ren(Y;'')
end

// [19] Schnitt zweier Geraden
// Die vier Geraden-Punkte sind hier
// vorgegeben. Sie können jedoch im
// Programmier-Modus geändert werden. 
begin
clr()
txt(SCHNITT von zwei GERADEN;-9;8)
A(-6/-2)
B(8/6)
ger(A;B)
fun(stp)
C(6/0)
D(-4/4)
ger(C;D)
fun(stp)
sgg(A;B;C;D)
end

// [20] Schnitt von Gerade und Kreis
// Die Gerade und der Kreis sind hier
// vorgegeben. Sie können jedoch im
// Programmier-Modus geändert werden. 
begin
clr()
txt(SCHNITT von GERADE und KREIS;-9;8)
A(-4/-1)
B(1/5)
ger(A;B)
fun(stp)
M(3/2)
r = 5
apo(_r;)
krs(M;r)
fun(stp)
sgk(A;B;M;r)
end

// [21] Schnitt zweier Kreise
// Von den beiden Kreisen sind hier
// die Mittelpunkte und die Radien
// vorgegeben. Sie können jedoch im
// Programmier-Modus geändert werden. 
begin
clr()
txt(SCHNITT von zwei KREISEN;-9;8)
a = 5
A(3/2)
b = 4
apo(_ab;)
B(-4/-1)
krs(A;a)
fun(stp)
krs(B;b)
fun(stp)
skk(A;a;B;b)
end

// [22] (&|*) Rechnen mit natürlichen Zahlen
// Der Zufall erzeugt zwei natürliche Zahlen.
// mit denen die vier Grundrechenarten
// ausgeführt werden sollen (auf Papier).
begin
clr(0;)
txt(Rechnen mit zwei natürlichen Zahlen a und b;-9;8)
a = round(random(20))
b = round(random(20))
apo(_ab;)
txt(Rechnen mit _a  und  _b;-9;7)
txt(Division auf 0 Dezimalen runden!;-9;6)
out(Rechnen mit _a  und  _b;)
inf(Gesucht:#Rechnen mit#_a und _b;)
naz(a;b)
end

// [23] (&|*) Rechnen mit ganzen Zahlen
// Der Zufall erzeugt zwei ganze Zahlen.
// mit denen die vier Grundrechenarten
// ausgeführt werden sollen (auf Papier).
begin
clr(0;)
txt(Rechnen mit zwei ganzen Zahlen a und b;-9;8)
a = round(random(20))- 20
b = round(random(20))- 20
txt(Rechnen mit _a  und  _b;-9;7)
txt(Division auf 0 Dezimalen runden!;-9;6)
out(Rechnen mit _a  und  _b;)
inf(Gesucht:#Rechnen mit#_a und _b;)
gaz(a;b)
end

// [24] (&|*) Rechnen mit Bruchzahlen
// Der Zufall erzeugt zwei Bruchzahlen
// mit denen die vier Grundrechenarten
// ausgeführt werden sollen (auf Papier).
begin
clr(0;)
txt(Rechnen mit zwei Bruchzahlen a/b und c/d;-9;8)
a = round(random(8)) + 1
b = round(random(8)) + 1
c = round(random(8)) + 1
d = round(random(8)) + 1
txt(Rechnen mit  (_a/_b)  und  (_c/_d);-9;7)
txt(Kürzen soweit wie möglich!;-9;6)
out(Rechnen mit  (_a/_b)  und  (_c/_d);)
inf(Gesucht:#Rechnen mit#(_a/_b) und (_c/_d);)
bru(a;b;c;d)
end

// [25] (&|*) Rechnen mit Dezimalzahlen
// Der Zufall erzeugt zwei Dezimalzahlen
// mit denen die vier Grundrechenarten
// ausgeführt werden sollen (auf Papier).
begin
clr(0;)
txt(Rechnen mit zwei Dezimalzahlen a und b;-9;8)
a = round(random(100))-100 + rd2(random(1))
b = round(random(100))-100 + rd2(random(1))
txt(Rechnen mit _a  und  _b;-9;7)
txt(Alle Rechnungen auf 4 Dezimalen runden!;-9;6)
out(Rechnen mit _a  und  _b;)
inf(Gesucht:#Rechnen mit#_a und _b;)
dez(a;b)
end

// [26] (&|*) Teiler und Primfaktoren
// Der Zufall erzeugt eine ganze
// Zahl a. Ermittle zuerst alle
// Teiler der Zahl und dann alle
// Primfaktoren
begin
clr(0;)
inf(Alle Teiler von einer Zahl a.;)
a = round(random(500)) + 500
tel(a;)
inf(Weiter zur Primfaktoren-Zerlegung;)
clr(0;)
pfz(a;)
end

// [27] (&|*) GGT und KGV
// Der Zufall erzeugt zwei ganze
// Zahlen a und b.
// Ermittle den GGT und das KGV.
// Rechnungen auf Papier ausführen.
begin
clr(0;)
txt(GGT und KGV von zwei Zahlen;-9;8)
a = round(random(490)) + 10
b = round(random(490)) + 10
apo(_ab;)
txt(GGT und KGV von _a und _b;-9;6)
out(GGT und KGV von _a und _b;)
inf(Gesucht: GGT und KGV von _a und _b;)
ggt(a;b)
end

// [28] (&|*) Schlussrechnen (1)
// a  Materialeinheiten kosten  w  Euro.
// b  Materialeinheiten kosten wieviele Euro?
// Rechnungen auf auf 2 Dezimalen gerundet.
begin
clr(0;)
txt(SCHLUSSRECHNEN Teil 1;-9;8)
a = round(100*random(1))+50
w = round(100*random(1))+100
b = round(100*random(1))+10
apo(_abw;)
txt(_a Stücke kosten _w €.;-9;6)
txt(_b Stücke kosten wieviele € ?;-9;5) 
out(_a Stk ... _w € | _b Stk ... ? €;)
inf(Gesucht:#_a Stk ... _w € #_b Stk ... ? €;)
sr1(a;w;b)
end

// [29] (&|*) Schlussrechnen (2)
// a  Materialeinheiten kosten  w  Euro.
// Wieviel Einheiten kosten  u  Euro?
// Rechnungen auf auf 2 Dezimalen gerundet.
begin
clr(0;)
txt(SCHLUSSRECHNEN Teil 2;-9;8)
a = round(100*random(1))+50
w = round(100*random(1))+100
u = round(100*random(1))+20
apo(_auw;)
txt(_a Stücke kosten _w €.;-9;6)
txt(Wieviele Stücke erhält man um _u € ?;-9;5)
out(_a Stk ... _w € | ? Stk ... _u €;)
inf(Gesucht:#_a Stk ... _w €#? Stk ... _u €;)
sr2(a;w;u)
end

// [30] (&|*) Prozentrechnen (1)
// Eine Grundmenge beträgt  g   Euro.
// Der Prozentsatz davon beträgt  p%.
// Welchen Anteil  a  erhält man dafür?
// Rechnungen auf auf 2 Dezimalen gerundet.
begin
clr(0;)
txt(PROZENTRECHNEN Teil 1;-9;9)
txt(g: Grundmenge | a: Anteil | p: Prozente;-9;8)
g = round(100*random(1))+50
p = round(100*random(1))+1
apo(_gp;)
txt(Die Grundmenge g ist _g €;-9;6)
txt(Welchen Anteil a erhält man um _p% ?;-9;5)
out(_g € ... 100 % | ? € ... _p %;)
inf(Gesucht:#_g € ... 100 %#? € ... _p %;)
pr1(g;p)
end

// [31] (&|*) Prozentrechnen (2)
// Der Anteil beträgt  a  Euro.
// Sein Prozentsatz ist  p%.
// Wieviel beträgt die Grundmenge  g?
// Rechnungen auf auf 2 Dezimalen gerundet.
begin
clr(0;)
txt(PROZENTRECHNEN Teil 2;-9;9)
txt(g: Grundmenge | a: Anteil | p: Prozente;-9;8)
a = round(100*random(1))+50
p = round(100*random(1))+1
apo(_ap;)
txt(Der Anteil _a € beträgt _p%.;-9;6)
txt(Wieviel ist die Grundmenge g ?;-9;5)
out(_a € ... _p % | ? € ... 100 %;)
inf(Gesucht:#_a € ... _p %#? € ... 100 %;)
pr2(a;p)
end

// [32] (&|*) Prozentrechnen (3)
// Eine Grundmenge beträgt  g  Euro.
// Der Anteil davon beträgt  a  Euro.
// Wieviele Prozente  p  sind das?
// Rechnungen auf auf 2 Dezimalen gerundet.
begin
clr(0;)
txt(PROZENTRECHNEN Teil 3;-9;9)
txt(g: Grundmenge | a: Anteil | p: Prozente;-9;8)
g = round(100*random(1))+100
a = round(100*random(1))+10
apo(_ag;)
txt(Die Grundmenge g ist _g €;-9;6)
txt(Der Anteil _a € ist dann wieviele p% ?;-9;5)
out(_g € ... 100 % | _a € ... ? %;)
inf(Gesucht:#_g € ... 100 % #_a € ... ? %;)
pr3(g;a)
end

// [33] Lineares Gleichungssystem (2)
// Gegeben sind die 6 Koeffizienten.
// Rechnungen auf Papier ausführen.
begin
clr()
txt(Lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen;-9;8)
txt(a*x + b*y -> c;-9;7)
txt(d*x + e*y -> f;-9;6) 
a = 3
b = -2
c = 4
d = 1
e = 4
f = 6
s = -a/b 
t = c/b 
u = -d/e 
v = f/e 
txt(1.Gleichung: (_a)*x + (_b)*y -> (_c);-9;-7)
txt(2.Gleichung: (_d)*x + (_e)*y -> (_f);-9;-8) 
inf(Gesucht:#(_a)*x + (_b)*y -> (_c)#(_d)*x + (_e)*y -> (_f);)
lg2(a;b;c;d;e;f)
clr()
txt(1.Gerade durch A: (_a)*x + (_b)*y -> (_c);-9;-7)
txt(2.Gerade durch B: (_d)*x + (_e)*y -> (_f);-9;-8) 
k = s 
d = t 
fun(k*x + d)
k = u 
d = v 
fun(k*x + d)
S(i/j)
A(0/t)
B(0/v)
txt(Schnittpunkt S(_i/_j);-9;-9)
end

// [34] Lineares Gleichungssystem (3)
// Gegeben sind die 12 Koeffizienten.
// Rechnungen auf Papier ausführen.
begin
clr(0;)
txt(Lineares Gleichungssystem mit 3 Variablen;-9;8)
txt(a*x + b*y + c*z -> d;-9;7)
txt(e*x + f*y + g*z -> h;-9;6) 
txt(i*x + j*y + k*z -> l;-9;5)
a = 1
b = 2
c = 2
d = 3
e = 3
f = 0
g = 2
h = 1
i = 0
j = 1
k = 2
l = 0
txt((_a)*x + (_b)*y + (_c)*z -> (_d);-9;3)
txt((_e)*x + (_f)*y + (_g)*z -> (_h);-9;2) 
txt((_i)*x + (_j)*y + (_k)*z -> (_l);-9;1)
inf(Weiter zur Lösung;)
lg3(a;b;c;d;e;f;g;h;i;j;k;l)
end

// [35] (&|*) Quadratische Gleichungen
// Gegeben ist eine quadratische
// Gleichung a*x^2 + b*x + c -> 0.
// Gesucht sind die Lösungen
// welche reell (x1 bzw. x2) oder
// komplex (Re+Im) bzw. (Re-Im)
// sein können. Es sind Re und Im
// Realteil und Imaginärteil.
begin
clr()
txt(Quadratische Gleichungen;-9;8)
txt(a*x² + b*x + c -> 0;-9;7)
a = rd2(random(2) - 1)
b = round(random(6)) - 3
c = round(random(6)) - 3
txt((_a)*x^2 + (_b)*x + (_c) -> 0;-9;6)
inf((_a)*x^2 + (_b)*x + (_c) -> 0 # Weiter zur Lösung;)
gl2(a;b;c)
end

// [36] Eindimensionale Statistik
// Manuelle Eingabe der Zahlenwerte und
// Berechnung der statistischen Kennwerte
begin
clr()
st1()
end

// [37] Zweidimensionale Statistik
// Manuelle Eingabe der Zahlenpaare und
// Berechnung der statistischen Kennwerte
begin
clr()
st2()
end

// [38] Normalverteilung
begin
clr()
txt(Ein normalverteiltes Merkmal X hat;-9;8) 
txt(den Mittelwert m und die Streuung s.;-9;7)
txt(Mittels Transformation Z -> (X-m)/s;-9;6) 
txt(erhält man dann die standardisierte;-9;5)
txt(Normalverteilung Z mit Mittelwert 0;-9;4)
txt(und Streuung 1. Es wird dann die;-9;3)
txt(Wahrscheinlichkeit von allen Z in;-9;2)
txt(dem Intervall von a bis b ermittelt.;-9;1)
a = -1
b = 1
nvt(a;b)
end

// [39] Linearkombination von Vektoren
// Damit werden alle Grundoperationen von
// zwei Vektoren in der Ebene dargestellt.
begin
clr()
txt(Vektorrechnung: (j)*A(a/b) + (k)*B(c/d) -> C;-9;8)
O(0/0)
a = 2
b = 1
A(a/b)
lin(O;A)
c = 1
d = 3
B(c/d)
lin(O;B)
j = 3
k = 2
inf(Weiter zur Linearkombination;)
vlk(j;A;k;B)
end

// [40] Skalarprodukt von Vektoren
begin
clr()
txt(Vektorrechnung: Skalarprodukt A(a/b) * B(c/d);-9;8)
O(0/0)
a = 4
b = 3
A(a/b)
lin(O;A)
c = -3
d = 4
B(c/d)
lin(O;B)
inf(Weiter zum Skalarprodukt;)
vsp(A;B)
end

// [41] Höhenvermessung
// Von einem Punkt P in der Ebene wird
// eine Messlatte auf einem Berg anvisiert.
// h -> Länge der Messlatte
// v -> Winkel zum Messlattenfuß (F)
// w -> Winkel zur Messlattenspitze (S)
// Dabei muss immer (w > v) sein.
// Die Winkel werden vom Punkt P 
// gemessen. Gesucht sind x und y.
// d.h. horizontale und vertikale
// Entfernungen der Messlatte von P.
begin
clr()
txt(Höhenvermessung:;-9;9)
txt(h -> Länge der Messlatte;-9;8)
txt(v -> Winkel zum Messlattenfuß (F);-9;7)
txt(w -> Winkel zur Messlattenspitze (S);-9;6)
h = 4
v = 30
w = 40
apo(_hvw;)
hvm(h;v;w)
end

// [42] Vorwärtseinschneiden
// Im Gelände sind P und Q zwei Punkte.
// Von der Standlinie a(AB) aus werden 
// vier Sichtwinkel gemessen t(BAP)
// und u(BAQ) und v(ABP) und w(ABQ). 
// Gesucht ist die Entfernung x(PQ).
begin
clr()
txt(Vorwärtseinschneiden:;-9;8)
txt(Im Gelände sind P und Q zwei Punkte.;-9;7)
txt(Von der Standlinie a(AB) aus werden;-9;6) 
txt(vier Sichtwinkel gemessen t(BAP);-9;5)
txt(und u(BAQ) und v(ABP) und w(ABQ).;-9;4) 
txt(Gesucht ist die Entfernung x(PQ).;-9;3)
a = 6
t = 110
u = 30
v = 40
w = 120
apo(_atuvw;)
vwe(a;t;u;v;w)
end

// [43] Rückwärtseinschneiden
// Um einen Punkt P zu lokalisieren
// werden von drei Punkten A und B und C
// die Strecken a(AB) und b(BC) und die
// Winkel u(ABC) und v(APB) und w(BPC)
// gemessen. Gesucht sind die drei Ent-
// fernungen x(AP) und y(BP) und z(CP).
begin
clr()
txt(Rückwärtseinschneiden:;-9;8)
txt(Um einen Punkt P zu lokalisieren;-9;7)
txt(werden von drei Punkten A und B und C;-9;6)
txt(die Strecken a(AB) und b(BC) und die;-9;5)
txt(Winkel u(ABC) und v(APB) und w(BPC);-9;4)
txt(gemessen. Gesucht sind die drei Ent-;-9;3)
txt(fernungen x(AP) und y(BP) und z(CP).;-9;2)
a = 8
b = 5
u = 130
v = 60
w = 40
apo(_abuvw;)
rwe(a;b;u;v;w)
end

// [44] Funktionen OHNE zusätzliche Variable 
// und MIT Verkettungen und MIT direkter Eingabe
// Alternative Funktionseingabe möglich.
// z.B. y -> 0.7*x^2*exp(-0.5*x)
begin
clr()
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;8)
fuo( 1*exp(-0.5*x)*sin(4*x) )
end

// [45] Schnitt von zwei Kurven f(x) und g(x).
// Die beiden Funktionen werden zuerst mit dem
// Befehl "fuo" direkt eingegeben und dann ver-
// sucht der Befehl "sfg" auf einem Intervall
// den Schnittpunkt der Kurven zu finden.
// Alternative Funktionseingaben werden hier
// durch den Befehl "nof" verhindert.
begin
clr()
inf(Funktionen f(x) eingeben;)
nof()
fuo(0.5*exp(x))
txt(f(x): y -> _s;-9;-8)
fuo(-1*x^2/5+8)
txt(g(x): y -> _s;-9;-9)
inf(Suchintervall eingeben.;)
l = 0
r = 5
sfg(f(x);g(x);l;r)
end

// [46] Tangente von Punkt an eine Kurve.
// Die Funktion f(x) wird zuerst mit dem
// Befehl "fuo" direkt eingegeben und zu-
// sätzlich auch ein Punkt A. Dann versucht
// der Befehl "tg2" auf einem Intervall
// die Tangente von A an f(x) zu finden.
// Alternative Funktionseingaben sind hier
// im Eingabefeld möglich. Wird "w" ein-
// gegeben, dann wird immer auf den letzten
// Funktionsterm zugegriffen. 
begin
clr()
inf(Funktion f(x) eingeben;)
fuo(0.1*exp(x))
txt(f(x): y -> _s;-9;-9)
inf(Weiter mit Punkt A;)
x = 0
y = -3
A(x/y)
inf(Suchintervall eingeben;)
l = 0
r = 5
tg2(f(x);A;l;r)
end

// [47] Funktionen MIT zusätzlichen Variablen und
// OHNE Verkettungen und OHNE direkte Eingabe
// Alternative Funktionseingabe möglich.
// z.B. y -> 0.7*x^2*exp(-0.5*x)
begin
clr()
txt(Eingabe der Funktionsparameter.;-9;8)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;7)
k = 0.5
d = -2.5
fun(k*x^2 + d)
end

// [48] Funktionswerte
// a ist der x-Wert des Kurvenpunktes.
// Alternative Funktionseingabe möglich.
begin
clr()
txt(Funktion;-9;9)
txt(a ist der x-Wert des Kurvenpunktes.;-9;8)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;7)
fun(1/(x-2))
a = 2
dif(1/(x-2);a;0)
end

// [49] Erster Ableitungswert
// a ist der x-Wert des Kurvenpunktes.
// Alternative Funktionseingabe möglich.
begin
clr()
txt(Erste Ableitung;-9;9)
txt(a ist der x-Wert des Kurvenpunktes.;-9;8)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;7)
fun(0.5*x^2-2)
a = 3
dif(0.5*x^2-2;a;1)
end

// [50] Zweiter Ableitungswert
// a ist der x-Wert des Kurvenpunktes.
// Alternative Funktionseingabe möglich.
begin
clr()
txt(Zweite Ableitung;-9;9)
txt(a ist der x-Wert des Kurvenpunktes;-9;8)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;7)
fun(0.5*x^2-2)
a = 3
dif(0.5*x^2-2;a;2)
end

// [51] Nullstellen
// a und b sind jene zwei Intervallgrenzen
// zwischen denen die Nullstelle vermutet wird.
// Achtung auf die Intervallgrenzen!
// Alternative Funktionseingabe möglich.
// z.B. y -> 0.7*x^2*exp(-0.5*x)
begin
clr()
txt(Nullstellen;-9;9)
txt(a und b sind die zwei Intervallgrenzen.;-9;8)
txt(Achtung auf die Intervallgrenzen!;-9;7)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;6)
fun(0.5*x^3 - 3*x^2 + 4*x)
a = -5
b = 5
nul(0.5*x^3 - 3*x^2 + 4*x;a;b;0)
end

// [52] Extremstellen
// a und b sind jene zwei Intervallgrenzen
// zwischen denen die Extremstelle vermutet wird.
// Achtung auf die Intervallgrenzen!
// Alternative Funktionseingabe möglich.
// z.B. y -> 0.7*x^2*exp(-0.5*x)
begin
clr()
txt(Extremstellen;-9;9)
txt(a und b sind die zwei Intervallgrenzen.;-9;8)
txt(Achtung auf die Intervallgrenzen!;-9;7)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;6)
fun(0.5*x^3 - 3*x^2 + 4*x)
a = -5
b = 5
nul(0.5*x^3 - 3*x^2 + 4*x;a;b;1)
gkp(k;E)
inf(Weiter;)
ren(E;P)
ren(Y;'')
end

// [53] Wendestellen
// a und b sind jene zwei Intervallgrenzen
// zwischen denen die Wendestelle vermutet wird.
// Achtung auf die Intervallgrenzen!
// Alternative Funktionseingabe möglich.
// z.B. y -> 0.7*x^2*exp(-0.5*x)
begin
clr()
txt(Wendestellen;-9;9)
txt(a und b sind die zwei Intervallgrenzen.;-9;8)
txt(Achtung auf die Intervallgrenzen!;-9;7)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;6)
fun(0.5*x^3 - 3*x^2 + 4*x)
a = -5
b = 5
nul(0.5*x^3 - 3*x^2 + 4*x;a;b;2)
ren(W;P)
tng(0.5*x^3 - 3*x^2 + 4*x;x)
end

// [54] Tangenten
// a ist der x-Wert des Kurvenpunktes
// wo die Kurventangente errichtet wird.
// Alternative Funktionseingabe möglich.
// z.B. y -> 0.7*x^2*exp(-0.5*x)
begin
clr()
txt(Tangenten;-9;9)
txt(a ist der x-Wert des Kurvenpunktes.;-9;8)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;7)
fun(sqrt(5^2-x^2))
a = 3
tng(sqrt(5^2-x^2);a)
end

// [55] Ellipse (Definition) 
// Ellipse mit Punkt P mit xP = x.
// Dabei gilt |FP + EP| = AB (2a).
// A und B sind Hauptscheitel.
// C und D sind Nebenscheitel.
// Achsen AB (2a) und CD (2b).
// E und F sind Brenpunkte mit
// Brennweite e = sqrt(a²-b²).
begin
clr()
nof()
txt(Ellipse mit Halbachsen a und b;-9;8)
txt(und Brennpunkten E und F.;-9;7)
txt(Für jeden Ellipsenpunkt P(x/y);-9;6)
txt(gilt: PF + PE -> AB -> 2a.;-9;5)
a = 6
b = 4
apo(_ab;)
ld3()
fun(sqrt(b^2-(x*b/a)^2))
ld3()
fun(-sqrt(b^2-(x*b/a)^2))
e = rd4(sqrt(a^2-b^2)) 
A(a/0)
B(-a/0)
C(0/b)
D(0/-b)
F(e/0)
E(-e/0)
x = 3
t = x 
u = rd4(e*e/a)
j = rd4(-e*e/b)
y = rd4(sqrt(b^2-(x*b/a)^2)) 
T(x/y)
lf3()
lin(E;T)
lin(F;T)
ren(T;P)
end

// [56] Ellipse (Tangenten) 
// Ellipse mit Halbachsen a und b
// und mit dem Ellipsenpunkt P.
// Die Tangente im Punkt P
// ist die Winkelsymmetrale
// des Winkels zwischen den
// Leitstrecken FP und EP.
// Zwei Scheitelkrümmungskreise.
begin
clr()
nof()
txt(Ellipse mit Halbachsen a und b;-9;9)
txt(und mit Ellipsenpunkt P(x/y) und;-9;8)
txt(Tangente und Scheitelkrümmungskreise;-9;7)
a = 6
b = 4
apo(_ab;)
ld3()
fun(sqrt(b^2-(x*b/a)^2))
ld3()
fun(-sqrt(b^2-(x*b/a)^2))
e = rd4(sqrt(a^2-b^2)) 
A(a/0)
B(-a/0)
C(0/b)
D(0/-b)
F(e/0)
E(-e/0)
x = 3
t = x 
u = rd4(e*e/a)
j = rd4(-e*e/b)
y = rd4(sqrt(b^2-(x*b/a)^2)) 
T(x/y)
lf3()
lin(E;T)
lin(F;T)
ren(T;P)
inf(Weiter;)
M(u/0)
lng(M;A)
r = z
krs(M;r)
N(0/j)
lng(N;C)
r = z
krs(N;r)
ger(E;T)
lng(E;T)
c = z 
lng(F;T)
d = z 
s = rd4(c + d ) 
tng(sqrt(b^2-(x*b/a)^2);t)
end

// [57] Hyperbel (Definition)
// Hyperbel mit Punkt P und xP = x.
// Dabei gilt |EP - FP| = AB (2a).
// A und B sind Hauptscheitel.
// C und D sind Nebenscheitel.
// Achsen AB (2a) und CD (2b).
// E und F sind Brenpunkte mit
// Brennweite e = sqrt(a²+b²)
// und Asymptoten g(OG) und g(OH).
begin
clr()
nof()
txt(Hyperbel mit Halbachsen a und b;-9;9)
txt(und Brennpunkten E und F.;-9;8)
txt(Für jeden Hyperbelpunkt P(x/y);-9;7)
txt(gilt: |PE - PF| -> AB -> 2a.;-9;6)
a = 3
b = 4
apo(_ab;)
ld3()
fun(sqrt((x*b/a)^2-b^2))
ld3()
fun(-sqrt((x*b/a)^2-b^2))
e = rd4(sqrt(a^2+b^2)) 
u = rd4(e*e/a)
O(0/0)
A(a/0)
B(-a/0)
C(0/b)
D(0/-b)
F(e/0)
E(-e/0)
G(a/b)
H(a/-b)
I(-a/-b)
J(-a/b)
ld1()
ger(O;G)
ld1()
ger(O;H)
li4(G;H;I;J)
x = 5
t = x 
y = rd4(sqrt((x*b/a)^2-b^2)) 
T(x/y)
lf3()
lin(F;T)
lin(E;T)
ren(T;P)
end

// [58] Hyperbel (Tangenten)
// Hyperbel mit Halbachsen a und b
// und mit dem Hyperbelpunkt P.
// Die Tangente im Punkt P
// ist die Winkelsymmetrale
// des Winkels zwischen den
// Leitstrecken FP und EP.
// Ein Scheitelkrümmungskreis.
begin
clr()
nof()
txt(Hyperbel mit Halbachsen a und b;-9;9)
txt(und mit Hyperbelpunkt P(x/y) und;-9;8)
txt(Tangente und Scheitelkrümmungskreis;-9;7)
a = 3
b = 4
apo(_ab;)
ld3()
fun(sqrt((x*b/a)^2 -b^2))
ld3()
fun(-sqrt((x*b/a)^2 -b^2))
e = rd4(sqrt(a^2+b^2)) 
u = rd4(e*e/a)
O(0/0)
A(a/0)
B(-a/0)
C(0/b)
D(0/-b)
F(e/0)
E(-e/0)
G(a/b)
H(a/-b)
I(-a/-b)
J(-a/b)
ld1()
ger(O;G)
ld1()
ger(O;H)
li4(G;H;I;J)
x = 5
t = x 
y = rd4(sqrt((x*b/a)^2-b^2)) 
T(x/y)
lf3()
lin(F;T)
lin(E;T)
ren(T;P)
inf(Weiter;)
M(u/0)
lng(M;A)
r = z
krs(M;r)
lng(F;T)
c = z 
lng(E;T)
d = z 
s = rd4(d-c ) 
ld2()
tng(sqrt((x*b/a)^2-b^2);t)
end

// [59] Parabel (Definition)
// Parabel mit Punkt P mit xP = x.
// Dabei gilt immer FP = GP.
// S ist Hauptscheitel und
// F und E sind Brennpunkte
// mit Brennweite e = p/2
// mit Parameter p = EF.
// G ist Gegenpunkt auf
// der Leitgeraden g(EG).
begin
clr()
nof()
txt(Parabel mit Parameter p und mit;-9;9)
txt(Brennpunkt F | Scheitel S | Leitgerade g;-9;8)
txt(Für jeden Parabelpunkt P(x/y) gilt: PF -> Pg;-9;7)
p = 3
apo(_p;)
ld3()
fun(sqrt(2*p*x))
ld3()
fun(-sqrt(2*p*x))
e = p/2 
u = p
S(0/0)
F(e/0)
E(-e/0)
x = 4
t = x 
y = rd4(sqrt(2*p*x)) 
T(x/y)
G(-e/y)
ger(E;G)
lf3()
lin(F;T)
lin(G;T)
ren(T;P)
end

// [60] Parabel (Tangenten)
// Parabel mit dem Parameter p.
// Die Tangente im Punkt P
// ist die Winkelsymmetrale
// der Leitstrecken FP und GP.
// Ein Scheitelkrümmungskreis.
begin
clr()
nof()
txt(Parabel mit Parameter p und;-9;9)
txt(mit Parabelpunkt P(x/y) und;-9;8)
txt(Tangente und Scheitelkrümmungskreis;-9;7)
p = 3
apo(_p;)
ld3()
fun(sqrt(2*p*x))
ld3()
fun(-sqrt(2*p*x))
e = p/2 
u = p
S(0/0)
F(e/0)
E(-e/0)
x = 4
t = x 
y = rd4(sqrt(2*p*x)) 
T(x/y)
G(-e/y)
ger(E;G)
lf3()
lin(F;T)
lin(G;T)
inf(Weiter;)
M(u/0)
lng(M;S)
r = z
krs(M;r)
lng(F;T)
c = z 
lng(G;T)
d = z 
tng(sqrt(2*p*x);t)
end

// [61] Schwingungen
// a -> Amplitude
// b -> Frequenz
// c -> Phasenverschiebung
begin
clr()
nof()
txt(Einfache SINUS-Schwingung;-9;9)
txt(Amplitude: a | Frequenz: b | Phase: c;-9;8)
a = 3
b = 1
c = 0
apo(_ab;)
txt(Amplitude a: _a;-9;7)
txt(Frequenz b: _b;-9;6)
txt(Phasenverschiebung c: _c;-9;5)
sw1(a;b;c)
end

// [62] Gedämpfte Schwingungen
// a -> Amplitude
// b -> Frequenz
// k -> Dämpfungsfaktor
begin
clr()
nof()
txt(Gedämpfte SINUS-Schwingung f(x): a*exp(k*x)*sin(b*x);-9;8)
a = 1
b = 4
k = -0.5
apo(_ab;)
txt(Gedämpfte SINUS-Schwingung f(x): _a*exp(_k*x)*sin(_b*x);-9;7)
ld2()
fun(exp(k*x))
sw2(a;b;k)
end

// [63] Interferenzen
// a -> Erste Amplitude
// b -> Erste Frequenz
// c -> Zweite Amplitude
// d -> Zweite Frequenz
// Schwebungen bestehen aus
// zwei Schwingungen mit
// höheren benachbarten
// Frequenzen (z.B. 11 und 12)
// (Amplitudenmodulation)
begin
clr()
nof()
txt(Interferenz von zwei Sinus-Schwingungen;-9;8)
txt(1.Schwingung: Amplitude: a | Frequenz: b;-9;7)
a = 2
b = 1
e = a
f = b
apo(_ab;)
sw2(a;b;0)
txt(1.Schwingung: Amplitude: _a | Frequenz: _b;-9;-7)
inf(Weiter;)
txt(Interferenz von zwei Sinus-Schwingungen;-9;8)
txt(2.Schwingung: Amplitude: c | Frequenz: d;-9;6)
c = 2
d = 2
g = c
h = d
apo(_cd;)
sw2(c;d;0)
txt(2.Schwingung: Amplitude: _c | Frequenz: _d;-9;-8)
inf(Weiter zur Interferenz;)
ld3()
sw3(e;f;g;h)
end

// [64] Ungebremstes Wachstum
// f(x) -> a*exp(k*x) Wert zur Zeit x
// a -> Anfangswert zur Zeit 0 
// k -> Wachstumsfaktor
// t -> Verdoppelungs-/Halbwertszeit
// k -> log(2)/t bei Zunahme
// weil 2a -> a*exp(k*t)
// k -> -log(2)/t bei Abnahme
// weil a/2 -> a*exp(k*t)
// w -> 1 (zunehmend)
// w -> -1 (abnehmend)
begin
clr()
txt(Ungebremstes Wachstum;-9;9)
txt(f(x) -> a*exp(k*x) Wert zur Zeit x;-9;8)
txt(a -> Anfangswert zur Zeit 0;-9;7) 
txt(t -> Verdoppelungs-/Halbwertszeit;-9;6)
txt(w -> Zunahme(1) oder Abnahme(-1);-9;5)
a = 4
t = 3
apo(_at;)
w = 1
k = rd4(w*log(2)/t) 
inf(Weiter;)
clr()
txt(Ungebremstes (+/-)Wachstum in der Zeit x;-9;-2)
txt(Verdoppelungs(Halbwerts)-Zeit t: _t;-9;-3)
txt(Wachstumsfaktor k: _k ... (+/-)log(2);-9;-4)
txt(Anfangswert a: _a zur Zeit 0;-9;-5)
txt(Exponential-Funktion  f(x): a*exp(k*x) ;-9;-7)
txt(Exponential-Funktion  f(x): _a*exp(_k*x) ;-9;-8)
uwt(a;t;w;k)
e = rd2(y)
A(0/a)
X(t/e)
txt(Endwert e: _e zur Zeit x: _t;-9;-6)
end

// [65] Gebremstes Wachstum
// f(x) -> (g*a)/(a+(g-a)*exp(-k*g*x))
// x -> Zeit
// a -> Anfangswert zur Zeit 0
// g -> Wachstumsgrenze
// k -> Wachstumsfaktor
begin
clr()
txt(Gebremstes Wachstum;-9;9)
txt(f(x) -> (g*a)/(a+(g-a)*exp(-k*g*x) Wert zur Zeit x;-9;8)
txt(a -> Anfangswert zur Zeit 0;-9;7) 
txt(g -> Wachstumsgrenze;-9;6)
txt(k -> Wachstumsfaktor;-9;5)
a = 1
g = 5
apo(_ag;)
k = 0.3
inf(Weiter;)
clr()
txt(Gebremstes Wachstum in der Zeit x;-9;-3)
txt(Wachstumsfaktor k: _k;-9;-4)
txt(Anfangswert a: _a zur Zeit 0;-9;-5)
txt(Wachstumsgrenze g: _g;-9;-6)
txt(Logistische Funktion f(x): (g*a)/(a+(g-a)*exp(-k*g*x);-9;-7)
txt(Logistische Funktion f(x): (_g*_a)/(_a+(_g-_a)*exp(-_k*_g*x);-9;-8)
G(-10/g)
Y(10/g)
lin(G;Y)
A(0/a)
gwt(a;g;k)
end

// [66] Integral
// a und b sind jene Intervallgrenzen
// welche die Fläche unter der Kurve begrenzen.
// Wird in einer Intervallgrenze eine Funktion
// unendlich - dann muss die Grenze durch eine
// Näherung (z.B. 5 durch 4.9998) ersetzt werden.
// Alternative Funktionseingabe möglich.
// (z.B. y -> x^2/5)
begin
clr()
txt(Integral;-9;9)
txt(a und b sind die Intervallgrenzen.;-9;8)
txt(Achtung auf die Intervallgrenzen!;-9;7)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;6)
fun(sqrt(5^2-x^2))
a = 1
b = 4
int(sqrt(5^2-x^2);a;b)
end

// [67] Flächenschwerpunkt
// a und b sind jene Intervallgrenzen
// welche die Fläche unter der Kurve begrenzen.
// Achtung auf die Intervallgrenzen!
// Alternative Funktionseingabe möglich.
// (z.B. y -> x^2/5)
begin
clr()
txt(Flächenschwerpunkt;-9;9)
txt(a und b sind die Intervallgrenzen.;-9;8)
txt(Achtung auf die Intervallgrenzen!;-9;7)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;6)
fun(sqrt(5^2-x^2))
a = 1
b = 4
fsp(sqrt(5^2-x^2);a;b)
end

// [68] Bogenlänge
// a und b sind jene Intervallgrenzen
// welche den Kurvenbogen begrenzen.
// Achtung auf die Intervallgrenzen!
// Alternative Funktionseingabe möglich.
// (z.B. y -> x^2/5)
begin
clr()
txt(Bogenlänge;-9;9)
txt(a und b sind die Intervallgrenzen.;-9;8)
txt(Achtung auf die Intervallgrenzen!;-9;7)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich.;-9;6)
fun(sqrt(5^2-x^2))
a = 0
b = 4.9998
fbo(sqrt(5^2-x^2);a;b)
end

// [69] Volumen von Drehkörpern
// a und b sind die Intervallgrenzen
// des rotierenden Kurvenstückes.
// Achtung auf die Intervallgrenzen!
// Alternative Funktionseingabe möglich:
// (z.B. y -> x^2/5)
begin
clr()
txt(Drehkörper-Volumen;-9;9)
txt(a und b sind die Intervallgrenzen.;-9;8)
txt(Achtung auf die Intervallgrenzen!;-9;7)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich;-9;6)
fun(sqrt(5^2-x^2))
a = 0
b = 5
vol(sqrt(5^2-x^2);a;b)
end

// [70] Oberfläche von Drehkörpern
// a und b sind die Intervallgrenzen
// des rotierenden Kurvenstückes.
// Achtung auf die Intervallgrenzen!
// Alternative Funktionseingabe möglich:
// (z.B. y -> x^2/5)
begin
clr()
txt(Drehkörper-Mantel;-9;9)
txt(a und b sind die Intervallgrenzen.;-9;8)
txt(Achtung auf die Intervallgrenzen!;-9;7)
txt(Alternative Funktionseingabe möglich;-9;6)
fun(sqrt(5^2-x^2))
a = 0
b = 4.9998
ofl(sqrt(5^2-x^2);a;b)
end

// [71] (*) Quader
begin
clr()
a = 8
b = 6
c = 7
apo(_abc;)
txt( QUADER: a -> _a | b -> _b | c -> _c;-9;8)
inf(Gesucht: #Volumen V #Oberfläche O;)
qua(a;b;c)
end

// [72] (*) Prisma
begin
clr()
a = 8
h = 4
apo(_ah;)
txt( PRISMA: a -> _a | h -> _h;-9;8)
inf(Gesucht: #Volumen V #Oberfläche O;)
pri(a;h)
end

// [73] (*) Pyramide
begin
clr()
a = 8
b = 6
h = 7
apo(_abh;)
txt( PYRAMIDE: a -> _a | b -> _b | h -> _h;-9;8)
inf(Gesucht: #Volumen V #Oberfläche O;)
pyr(a;b;h)
end

// [74] (*) Oktaeder
begin
clr()
a = 8
apo(_a;)
txt( OKTAEDER: a -> _a;-9;8)
inf(Gesucht: #Volumen V #Oberfläche O;)
okt(a;)
end

// [75] (*) Tetraeder
begin
clr()
a = 8
apo(_a;)
txt( TETRAEDER: a -> _a;-9;8)
inf(Gesucht: #Volumen V #Oberfläche O;)
tet(a;)
end

// [76] (*) Zylinder
begin
clr()
r = 5
h = 8
apo(_rh;)
txt( ZYLINDER: r -> _r | h -> _h;-9;8)
inf(Gesucht: #Volumen V #Oberfläche O;)
zyl(r;h)
end

// [77] (*) Kegel
begin
clr()
r = 5
h = 8
apo(_rh;)
txt( KEGEL: r -> _r | h -> _h;-9;8)
inf(Gesucht: #Volumen V #Oberfläche O;)
keg(r;h)
end

// [78] (*) Kugel
begin
clr()
r = 5
apo(_r;)
txt( KUGEL: r -> _r;-9;8)
inf(Gesucht: #Volumen V #Oberfläche O;)
kug(r;)
end

// [79] (*) Würfel mit Kugel
begin
clr()
a = 8
apo(_a;)
txt( WÜRFEL: a -> _a;-9;8)
inf(Gesucht: #Volumen V #Oberfläche O;)
wuk(a;)
end

// [80] (*) Rhombendodekaeder
begin
clr()
a = 8
apo(_a;)
txt( RHOMBENDODEKAEDER: a -> _a;-9;8)
inf(Gesucht: #Volumen V #Oberfläche O;)
rdd(a;)
end

// [81] Torus
begin
clr()
txt(TORUS:;-9;8)
txt(Jeder Punkt P auf einem großen Kreis k[M/a] ist der;-9;7)
txt(Mittelpunkt eines kleinen Kreises k[P/b] mit b < a.;-9;6)
txt(Die beiden Kreisebenen sind aufeinander normal. Damit;-9;5)
txt(wird ein Torus gebildet. Für Volumen und Oberfläche gilt:;-9;4)
txt(V -> (b²*PI)*(2*PI*a) und O -> (2*PI*b)*(2*PI*a);-9;3)
txt(Viele Gegenstände des Alltags enthalten Torusteile:;-9;2)
txt(Räder | Rollen | Rohre | Ketten | Töpfe . . .;-9;1)
txt(Für die äußere (a) und die innere (i) Torushälfte gilt:;-9;-1)
txt(V(a) -> (b²*PI/3) * (3*PI*a + 4*b);-9;-2)
txt(V(i) -> (b²*PI/3) * (3*PI*a - 4*b);-9;-3)
txt(Für das Volumen eines Topfes mit abgerundetem Boden;-9;-4)
txt(müssen die Torushälften beachtet werden!;-9;-5) 
txt(Viel Vergnügen beim Experimentieren!;-9;-9)
a = 5
b = 1
tor(a;b)
end

// [82] Gleitende Kurventangenten
begin
clr()
txt(Gleitende Tangenten:;-9;8)
txt(In jedem Punkt P einer Kurve y -> f(x) auf;-9;7)
txt(dem Intervall a < x < b wird die Tangente;-9;6)
txt(bestimmt und gezeichnet. Dadurch entsteht;-9;5)
txt(eine Schar von Tangenten.;-9;4)
txt(Viel Vergnügen beim Experimentieren!;-9;-9)
a = -5
b = 1
ff1(a;b;x^2/5)
end

// [83] Evoluten
begin
clr()
txt(EVOLUTE:;-9;8)
txt(Ein Krümmungskreis schmiegt sich optimal in;-9;7)
txt(einem Kurvenpunkt P(a/f(a)) an eine Kurve f(x).;-9;6)
txt(Eine Funktion g(x) durch die Mittelpunkte von;-9;5)
txt(allen Krümmungskreisen heißt Evolute der Kurve.;-9;4)
txt(Es gilt: f(a) -> g(a) | f'(a) -> g'(a) | f''(a) -> g''(a).;-9;3)
txt(Mit dem Parameter n -> 2 wird zusätzlich zu f(x);-9;2)
txt(noch das Spiegelbild -f(x) gezeichnet. Beispiele:;-9;1)
txt(Ellipse f(x) -> 3/6*sqrt(6*6-x*x);-9;-1)
txt(Hyperbel f(x) -> 3/2*sqrt(x*x-2*2);-9;-2)
txt(Parabel f(x) -> 2*sqrt(x);-9;-3)
txt(Achtung auf Randstellen der Funktion - z.B. bei der;-9;-5)
txt(Ellipse bei x -> 6. Um Fehler bei Krümmungskreisen zu;-9;-6)
txt(vermeiden sollte dort x -> 5.999 eingegeben werden!;-9;-7)
txt(Viel Vergnügen beim Experimentieren!;-9;-9)
a = 3
n = 2
evo(a;n;3/6*sqrt(6*6-x*x))
end

// [84] Parameter-Funktionen
begin
clr()
txt(Eine Funktion y -> f(x) wird dadurch bestimmt;-9;8)
txt(dass x und y Funktionen von einem Parameter t;-9;7)
txt(sind: x -> g(t) und y -> h(t). In den folgenden;-9;6)
txt(Beispielen müssen die Funktionen durch einen;-9;5)
txt(Schrägstrich getrennt eingegeben werden und für;-9;4)
txt(den Parameter t wird das Argument x verwendet:;-9;3)
txt(Ellipse: ( 5*cos(x) / 3*sin(x) );-9;1)
txt(Zykloide: ( x-sin(x) / 1-cos(x) );-9;0)
txt(Asteroide: ( 5*cos(x)^3) / 5*sin(x)^3 );-9;-1)
txt(Lissajous: ( 5*sin(5*x) / 5*cos(3*x) );-9;-2)
txt(Rosetten: ( 6*cos(x)*cos(7*x) / 6*sin(x)*cos(7*x) );-9;-3)
txt(Viel Vergnügen beim Experimentieren!;-9;-9)
ff2(6*cos(x)*cos(7*x);6*sin(x)*cos(7*x))
end

// [85] Hypozykloid-Funktionen
begin
clr()
txt(Ein kleiner Kreis (r -> b) rollt innen entlang;-9;8)
txt(eines großen Kreises (r -> a). Ein Punkt P ist;-9;7)
txt(mit dem Mittelpunkt M des kleinen Kreises;-9;6)
txt(starr verbunden mit dem Abstand MP -> c.;-9;5)
txt(Die Bahnkurve von P heißt Hypozykloide.;-9;4)
txt(Fallunterscheidung c : 0 | c < b | c : b | c > b;-9;3)
txt(Beispiele für (a/b/c):;-9;1)
txt((4/1/0) - (4/1/1) - (4/1/2) - (4/1/3);-9;0)
txt((4/3/2) - (4/3/3) - (4/3/4) - (4/2.5/3);-9;-1)
txt((6/3.5/2.5) - (7/3/5) - (7/4/4) - (7/1.5/2.5);-9;-2)
txt(Rollt ein Kreis hingegen auf einer Geraden;-9;-5)
txt(dann beschreibt ein fester Punkt P auf dem;-9;-6)
txt(Kreisumfang als Bahnkurve eine Zykloide.;-9;-7)
txt(Viel Vergnügen beim Experimentieren!;-9;-9)
a = 4
b = 2.5
c = 3
ff3(a;b;c)
end