Fundamentalsatz der Algebra

Funktionen f(x) = a(n)*x^n + a(n-1)*x^(n-1) + . . . + a(1)*x + a(0)
mit reellen Koeffizienten a(i) heißen Polynomfunktionen vom
Grad n und man schreibt f(x) = p(n,x). Der Grad eines Polynoms
ist durch die größte Hochzahl n des Polynoms p(n,x) gegeben.

Für Polynomfunktionen gilt der Fundamentalsatz der Algebra:
Jede Polynomfunktion p(n,x) besitzt mindestens eine Nullstelle.
d.h. es existiert immer ein Zahl ß mit f(ß) = 0. Diese kann reell
oder komplex sein.

Ist ß = a + i*b eine komplexe Nullstelle von p(n,x), dann ist
auch die konjugiert komplexe Zahl ß1 = a - i*b eine Nullstelle.
Beweis: Wenn (a+i*b)^n = c+i*d ist, dann ist (a-i*b)^n = c-i*d.
Wenn p(n,ß) = c+i*d, dann p(n,ß1) = c-i*d. Weil p(n,ß) = 0 ist,
sind c = 0 und d = 0. Daraus folgt, dass auch p(n,ß1) = 0 ist.
Polynome mit ungeradem Grad müssen daher mindestens
eine reelle Nullstelle haben!

Der Beweis des Fundamentalsatzes für Polynome mit einem
geraden Grad ist schwierig. Für Polynome mit ungeradem Grad
wird der Beweis mit dem Zwischenwertsatzes leicht geführt:

Jede Polynomfunktion f(x) = p(n,x) ist stetig, weil sie nur aus
stetigen Potenzfunktionen zusammengesetzt ist. Der Grad n
sei ungerade. Dividiert man das Polynom durch a(n), so erhält
man das normierte Polynom g(x) = x^n + p(n-1,x) mit gleichen
Nullstellen. Wählt man eine Zahl z mit z^n > |p(n-1,z)|, dann
gilt offensichtlich: g(z) > 0 und g(-z) < 0. Daraus folgt, dass es
eine reelle Nullstelle ß zwischen -z und +z geben muss, weil
stetige Funktionen keine Lücken haben (Zwischenwertsatz).



Der Zerfällungssatz

Ist ß eine Nullstelle der Polynomfunktion f(x) = p(n,x), dann
zerfällt die Funktion in das Produkt p(n,x) = (x - ß) * p(n-1,x).

Beweis:
Es sei das Polynom normiert.
f(x) = x^n + a(n-1)*x^(n-1) + ...... + a(1)*x + a(0)
f(ß) = ß^n + a(n-1)*ß^(n-1) + ...... + a(1)*ß + a(0) = 0
Differenz (D):
f(x) - f(ß) = (x^n - ß^n) + a(n-1)*(x^(n-1) - ß^(n-1)) + ...... + a(1)*(x - ß)
Durch Ausrechnen kann man zeigen, dass (x - ß) alle (x^k - ß^k) teilt.
Die Division (x^n - ß^n) / (x - ß) ergibt ein Polynom vom Grad (n-1).
Daher kann man in (D) den Linearfaktor (x - ß) herausheben und man
erhält dann ein Polynom p(n-1,x) vom Grad (n-1).
Also gilt der Zerfällungssatz: p(n,x) = (x - ß) * p(n-1,x)

Wir können nun den Fundamentalsatz und den Zerfällungssatz auf
das Polynom p(n-1,x) anwenden, usw.. Daraus folgt, dass am Ende
dieser Zerlegung jedes Polynom n-ten Grades in ein Produkt von
genau n Linearfaktoren zerfällt.
Kommt in dieser vollständigen Zerfällung eine Nullstelle ß mit dem
Faktor (x - ß)^k vor, dann hat diese Nullstelle die Vielfachheit k.

© Herbert Paukert