Viele Merkmale x (Körpergröße, Gewicht, usw.), die von mehreren
verschiedenen Faktoren abhängen und welche in nicht zu kleinen
Stichproben erfasst werden, haben eine Häufigkeitsverteilung mit
glockenförmigem Aussehen. Diese Normalverteilung ist symmetrisch
zu einem Gipfel (Mittelwert) und nähert sich auf beiden Seiten
davon asymptotisch der x-Achse. Je extremer ein Merkmal x ist,
desto seltener kommt es vor. Die relativen Häufigkeiten h(x) werden
durch eine Formel beschrieben, die vom Mittelwert m und von der
Streuuung s der Verteilung abhängt:
h(x) = 1/sqrt(2*PI*s²) * exp(-(x-m)²/(2*s²))
Die Formel wird einfacher durch die Ersetzung z = (x-m)/s. Diese
Standardisierung bewirkt eine Verschiebung des Mittelwertes in
den Nullpunkt und Stauchung der verschobenen x-Werte durch
den Faktor s. So erhält man die standardisierte Normalverteilung
mit Mittelwert 0 und Streuung 1:
h(z) = 1/sqrt(2*PI) * exp(-z²/2)
Die Verteilungsfunktion F(z) gibt an, wie viele Prozente aller Werte
kleiner/gleich einem bestimmten Wert z=a sind. Die Funktion F(z) ent-
spricht dem bestimmten Integral ∫h(z)dz auf dem Intervall {-∞ ; z=a}.
Für diese Prozentrangwerte (kumulative Häufigkeiten) gibt es Tabellen
zum Nachschlagen. Sie werden auch mit diesem Programm berechnet.
(Dabei genügt es, das standardisierte Intervall {-5 ; z=a} zu betrachten).
Beispiel einer Bevölkerungsstatistik:
Körpergrößen-Verteilung (m;s): männlich (178;8), weiblich (166;7), cm
Körpergewicht-Verteilung (m;s): männlich (86;4), weiblich (70;3), kg
[zSearch] sucht jenen Standardwert z mit der Häufigkeit h{0 ; z} = p.
[zTransform] transformiert z auf den entsprechenden Rohwert x.
Bei Wahrscheinlichkeits-Tests mittels Normalverteilung erfolgt
zuerst die Eingabe von Mittelwert m, Streuung s und Datenwert x.
Dann wird mit z = (x-m)/s die standardisierte Normalverteilung
erzeugt. Zuletzt werden die kumulativen Häufigkeiten für die ent-
sprechenden Intervalle berechnet. Ein Beispiel zur Illustration:
Rechenbeispiel
Glühbirnen werden maschinell erzeugt. Die Brenndauer der Birnen
ist normal verteilt. Repräsentative Stichproben ergeben dabei den
Mittelwert m = 1200 Stunden und die Streuung s = 200 Stunden.
Erste Aufgabe
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Brenndauer einer
Glühbirne zwischen 1300 und 1400 Stunden liegt?
Mit [Calculate] werden die standardisierten Werte ermittelt. Die
Standardisierung z = (x-m)/s liefert z(1300)=0.5 und z(1400)= 1.0.
Die Differenz der Verteilungsfunktionen F(1.0) - F(0.5) = 15% liefert
die Wahrscheinlichkeit p = 15% auf dem Intervall {0.5 <= z <= 1.0}.
Alternativ dazu kann auch mit [Integral] die gesuchte Wahrschein-
lichkeit p = 15% auf Intervall {0.5 <= z <= 1.0} ermittelt werden.
Zweite Aufgabe
Welche Toleranzgrenzen muss man setzen, wenn nur 5% der
Produktion als Ausschuss deklariert werden sollen?
Außerhalb des gesuchten Toleranzintervall {-x;+x} liegen 5% und
außerhalb von {0;+x} genau 2.5%. Mit [zSearch] wird jener z-Wert
ermittelt, wo in {0;+z} genau 50-2.5 = 47.5% (=0.475) liegen. Das
liefert z = 1.96 und in {-1.96;+1.96} sind 95%, außerhalb davon 5%.
[zTransform] mit den Parametern (1200,200,1.96) transformiert den
Standardwert z = 1.96 auf den entsprechenden Rohwert x = 1592.
Außerhalb von {-x;+x} liegen 5%. Die Differenz zum Mittelwert m
ist 392. Der Toleranzbereich ist daher {m-392; m+392} = {808;1592}.