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Reelle Nullstellen
Gesucht sind die rellen Lösungen der Gleichung f(x) = 0.
Die Funktion y = f(x) sei stetig auf dem Intervall {a; b}.
Sind die Vorzeichen von f(a) und f(b) ungleich, dann muss
es in {a; b} eine Zahl ß geben mit f(ß) = 0. Das gilt, weil
eine stetige Funktion keine Lücken hat (Zwischenwertsatz).
Diese Zahl ß nennt man eine Nullstelle von f(x).
Im vorliegenden Programm werden die reellen Nullstellen
nach der Methode der Intervallschachtelung ermittelt.
Dabei sucht man zuerst ein Intervall {a; b}, in welchem f(x)
das Vorzeichen wechselt, sgn(f(a)) <> sgn(f(b)). Von diesem
wird der Mittelpunkt m ermittelt, der das Intervall halbiert.
Nun nimmt man wieder jenes Teilintervall heraus, in dem
ein Vorzeichenwechsel von f(x) stattfindet. Beispielsweise,
wenn f(a) < 0, f(m) < 0 und f(b) > 0 sind, wird das rechte
Teilintervall {m; b} genommen. Dieses wird wieder halbiert
und das Verfahren wird so lange fortgesetzt bis f(m) < e ist,
wobei e eine vorgegebene Genauigkeit ist.
Wenn f(m) = 0 ist, dann wird das Verfahren sofort beendet.
Die so ineinander geschachtelten Intervalle schrumpfen
schrittweise auf die gesuchte Nullstelle der Funktion.
Hinweis: Wenn eine Funktion an einer Stelle die x-Achse
berührt und dort keinen Vorzeichenwechsel hat, dann
kann es auch vorkommen, dass diese Nullstelle bei einer
Intervallschachtelung nicht erfasst wird.
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