Wahrscheinlichkeits-Bäume
Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen)
In einer Urne liegen 6 rote, 4 blaue und 2 grüne Kugeln.
Das ist ein Ereignis-Raum mit zwölf Elementar-Ereignissen:
12 farbige Kugeln: 6 rot (r), 4 blau (b) und 2 grün (g).
Damit sind die Ereignis-Wahrscheinlichkeiten festgelegt:
p(r) = 6/12 = 1/2, p(b) = 4/12 = 1/3, p(g) = 2/12 = 1/6.
Dahinter steckt die Laplace-Idee, dass die Wahrscheinlichkeit
als Quotient der für ein Ereignis günstigen Fälle durch die
die Anzahl aller möglichen (gleichwahrscheinlichen) Fälle
berechnet werden kann.
Es sollen hintereinander zwei Kugeln aus der Urne gezogen
werden, OHNE dass die erste Kugel zurückgelegt wird.
Ereignis A sei "Es wird eine rote (r) und eine blaue (b)
Kugel gezogen, egal in welcher Reihenfolge". Zur Ermittlung
der Wahrscheinlichkeit wird ein Baumdiagramm verwendet.
Ein Baum beginnt im Urknoten oben und verzweigt nach unten.
Jede Pfadebene entspricht einem unabhängigen Experiment,
welches mit seinen Wahrscheinlichkeiten an den Knoten der
Pfade beginnt. Der gesamte Versuch verläuft entlang eines
Pfades vom Urknoten oben bis zum letzten Endknoten unten.
Bei der 1. Ziehung beginnt für jede Kugelfarbe ein Pfad
mit den Wahrscheinlichkeiten p(r)=1/2, p(b)=1/3, p(g)=1/6.
Weil die gezogene Kugel nicht zurückgelegt wird, sind bei
der 2. Ziehung die Wahrscheinlichkeiten verändert.
Das Ereignis A = "Ziehen einer roten und blauen Kugel, egal
in welcher Reihenfolge" zerfällt in zwei disjunkte Ereignisse
B = "zuerst rot, dann blau" und C = "zuerst blau, dann rot".
p(A) = p(B) + p(C)
(Additionssatz)
. Die Ereignisse B und C be-
stehen jeweils aus 2 unabhängigen Ziehungen, deren Wahr-
scheinlichkeiten multipliziert werden
(Multiplikationssatz)
:
p(B) = (1/2)*(4/11) = 4/22 = 2/11. p(C) = (1/3)*(6/11) = 2/11.
Dann erhält man für p(A) = p(B) + p(C) = 2/11 + 2/11 = 4/11.
Zusammenfassung der Spielregeln für Baumdiagramme:
(1) Jene Pfade bestimmen, die zu einem Ereignis A gehören.
(2) Die Wahrscheinlichkeiten entlang der Pfade multiplizieren.
(3) Die dabei erhaltenen End-Wahrscheinlichkeiten addieren.
Ein letztes Übungsbeispiel mit der Urne:
A = "die zweite gezogene Kugel ist grün".
p(A)=(1/2)*(2/11)+(1/3)*(2/11)+(1/6)*(1/11)=11/66=1/6.
© Herbert Paukert