Auf einer Funktion y = f(x) liegen die zwei benachbarten Punkte
P(a/f(a)) und Q(x/f(x)). Die Gerade g durch P und Q nennt man
Sekante an die Kurve. Das Dreieck PQR mit dem Punkt R(x/f(a))
heißt Steigungsdreieck und der Winkel bei P heißt Steigungs-
winkel w. Für die Steigung k gilt: k = tan(w) = (f(x)-f(a))/(x-a).
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Nähert sich der Punkt Q kontinuierlich dem Punkt P, dann
wird die Sekante g zur einer Tangente t der Kurve, wenn der
Punkt Q den Punkt P erreicht hat, und k = tan(w) heißt dann
Tangentensteigung oder Differenzialquotient im Punkt P(a/f(a).
Man schreibt f'(a) = lim(f(x)-f(a))/(x-a) für x -> a. Eine etwas
andere Schreibweise ist f'(a) = lim(f(a+h)-f(a))/h für h -> 0,
wobei h = (x-a) ist. Zu f'(a) sagt man »f Strich an der Stelle a«.
f'(a) wird auch als erste Ableitung von f(x) bezeichnet. Auf die
gleiche Art und Weise kann auch eine zweite Ableitung f''(a)
(f Zwei-Strich) als Ableitung der Ableitung gebildet werden, usw...
Ableitungen werden hier mit numerischen Näherungen ermittelt.
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Die Geradengleichung der Tangente t ist y = k*x + d. Weil nun
P(a/f(a) auf t liegt, gilt f(a) = f'(a)*a + d. Es folgt d = f(a) - f'(a)*a
und für die Tangentengleichung gilt dann: y = f'(a)*(x - a) + f(a).
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Für den Graphen einer Funktion gelten folgende Beschreibungen,
die in einer Kurvendiskussion erfasst werden (hier ohne Beweise):
(1a) f(x) ist in x = a monoton steigend, wenn dort f'(a) > 0 ist.
(1b) f(x) ist in x = a monoton fallend, wenn dort f'(a) < 0 ist.
(2a) f(x) ist in x = a nach oben hohl gekrümmt, wenn dort f''(a) > 0 ist.
(2b) f(x) ist in x = a nach unten hohl gekrümmt, wenn dort f''(a) < 0 ist.
(3) Eine Funktion f(x) hat bei a einen Scheitelpunkt (Extremwert), wenn
sich dort nur die Monotonie ändert, d.h. wenn f'(a) = 0 und f''(a) <> 0.
Dann verläuft dort die Tangente parallel zur x-Achse und es gilt:
Tiefpunkt mit f'(a) = 0 und f''(a) > 0. Hochpunkt mit f'(a) = 0 und f''(a) < 0.
(4) Eine Funktion f(x) hat bei a einen Wendepunkt, wenn sich dort nur
die Krümmung ändert, d.h. wenn f'(a) <> 0 und f''(a) = 0 und f'''(a) <> 0.
(5) Eine Funktion f(x) hat bei a einen Flachpunkt, wenn dort gilt:
f'(a) = 0 und f''(a) = 0 und f'''(a) = 0 (z.B. bei a = 0 bei f(x) = x^4/10).
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Mit [Start4] werden maximal 4 Funktionen gleichzeitig angezeigt.
(Bespielsweise der positive und negative Kurventeil einer Ellipse)
Eine Kurvendiskussion der 4 Funktionen ist jedoch nicht möglich.