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Mit dem bestimmten Integral ∫ydx der stetigen Funktion y = f(x)
auf dem Intervall [a,b] wird jene Fläche A in der Ebene ermittelt,
welche von der Funktionskurve y = f(x), der x-Achse, und links
und rechts von den beiden Geraden x = a und x = b begrenzt wird.
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Für den Schwerpunkt S(c/d) der Fläche A gilt:
Koordinate c = 1/A*∫x*ydx, und Koordinate d = 1/(2A)*∫y²dx.
Hinweis:
Wenn V = ¶*∫y²dx das Volumen des Drehkörpers ist, dann gilt:
V = ¶*∫y²dx = A*2¶*d. Diese Formel heißt "Erste Guldin-Regel":
Das Volumen eines Drehkörpers ist gleich dem Produkt aus der
rotierenden Fläche A und der Kreisbahn des Schwerpunktes.
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Die Kurve rotiert um die x-Achse und erzeugt einen Drehkörper.
Für das Volumen V des Drehkörpers gilt: V = ¶*∫y²dx.
Für die Mantelfläche M gilt: M = 2¶*∫y*sqrt(1+[y']²)dx.
y' = f'(x) ist die erste Ableitung, sqrt ist die Quadratwurzel.
Für den Körper-Schwerpunkt S(c/0) gilt: c = (1/V)*¶*∫x*y²dx.
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Für die Länge des Kurvenbogens e gilt: e = ∫sqrt(1+[y']²)dx.
y' = f'(x) ist Ableitung der Funktion, sqrt ist Quadratwurzel.
Für den Schwerpunkt S(c/d) des Kurvenbogens gilt:
c = (1/e)*∫x*sqrt(1+[y']²)dx, und d = (1/e)*∫y*sqrt(1+[y']²)dx.
Hinweis:
Wenn M = 2¶*∫y*sqrt(1+[y']²)dx der Mantel des Drehkörpers ist,
gilt: M = 2¶*∫y*sqrt(1+[y']²)dx = e*2¶*d. "Zweite Guldin-Regel":
Der Mantel eines Drehkörpers ist gleich dem Produkt aus dem
rotierenden Bogen e und der Kreisbahn des Schwerpunktes.
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Achtung: Wenn f(x), f'(x) oder f''(x) in einem Randpunkt eines
Intervalls unendlich wird, dann können Fehler auftreten! Dann
muss für den x-Wert des Randpunktes ein davon nur geringfügig
abweichender Wert genommen werden.
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